特集 1-5 符号理論のストレージ技術への応用とその将来

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Vol.100 No.6 (2017/6) 目次へ

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タイトル

鎌部 浩 正員:シニア会員 岐阜大学工学部電気電子・情報工学科

Hiroshi KAMABE, Senior Member (Faculty of Engineering, Gifu University, Gifu-shi, 501-1193 Japan).

電子情報通信学会誌 Vol.100 No.6 pp.424-430 2017年6月

©電子情報通信学会2017

1.ま え が き

 Shannonは1948年に発表した「A Mathematical Theory of Communication」(1)において,ディジタル情報伝送の数学的なモデルを与えた上で,今日のディジタル通信の基礎となる定理を証明している.「情報源符号化定理」は,データを圧縮するときの圧縮率の限界を与えており,「通信路符号化定理」は誤りを幾らでも小さくしながら通信できる伝送率の限界を示している.これらの限界を達成するような符号化方法の発見は,その後の研究の大きな目的の一つとなった.その後の展開や今後の展望などについては,様々な文献で紹介されている.(例えば,本特集の植松氏の記事や文献(2)など.)

 Shannonはこの論文(1)において,入力できる記号系列に制限があるような通信路を使ってデータを送信するときに,達成可能な伝送率の上界も与えている.

 原理的には通信路に入力できる系列を数え上げることで,この上界に幾らでも近い伝送率の符号を構成することは可能である(例えば文献(3)6章).しかし,実際の通信路が持っている入力制約が与えられたとき,データ,つまり,任意の記号列をその制約を満たすような記号列に変換し,誤りなく元のデータを復号できるような符号化規則を,実用的な規模の電子回路で実現するという問題は,一般には簡単な問題ではない.

 通信路符号化定理の場合と同様に,入力制約を持つ通信路に関しても,定理が保証する限界を達成するために,多くの研究が行われてきた.これらの研究によって,理論的な限界に近い符号の構成方法が見いだされ,実際の伝送路で使用された.本稿では,そうした研究の流れについて述べる.

 後半では,今後発展すると思われる二つの研究分野について述べる.ディジタルデータの需給バランスが将来崩れる(データの生成量の増加に対して,それを蓄積する装置の全容量が大きく不足する)のではないかと予想されているが(4),このアンバランスを解消する一つの方法として期待されているDNAストレージについて,その誤り訂正方法の一つと,これまでの符号構成方法との関係(本稿前半の内容との関係)について述べる.

 近年,フラッシュメモリなど不揮発性固体メモリのための符号が盛んに研究されているが,その中でも,フラッシュメモリのためのWOM符号は最もよく研究されている.ここでは,最も実用化に近いと思われるWOM符号の応用について述べる.

2.入力制約を持つ通信路

2.1 系統的な符号の構成方法

 Shannonは,入力制約の例としてモールス信号を考えている(1).モールス信号では,2種類の「スペース」,1記号分のスペースとその2倍の長さのスペースがある.一つのスペースが二つ連続すると2倍の長さのスペースと区別がつかなくなるので,これらのスペースは連続してはならない,という制約がある.モールス信号の記号列は,どのようなデータを符号化したとしても,符号化された系列(送信される系列)がこの制約を満たすように作られている.

 ここでは,制約としてmath制約を考える.ある記号mathmath回連続するとき,mathのように書き,これを「mathの連」と呼ぶ.mathを文字の有限集合(有限アルファベット)としたとき,mathは,mathの要素から成る有限長の全ての系列(空系列も含む)の集合とする.

[定義1]mathを非負整数,mathを非負整数若しくはmathとし,mathであるとする.系列mathに含まれる記号mathとその次のmathの間にあるmathの連の長さが必ずmath以上であり,mathに含まれるmathの連長は全てmath以下であるとき,mathmath制約を満たすと言う.この制約は図1のようなラベル付き有限有向グラフ(有限オートマトン)で表現できる.

fig_1.png

 ある制約を満たすような系列しか入力できない,若しくは伝送できない通信路を入力制約を持つ通信路という.

 磁気記録装置は,記録するデータを入力と考え読出し信号を出力と考えると,一種の通信路とみなすことができる.ハードディスクが長手記録方式(磁化方向がディスク回転する方向と同じ方式.現在のハードディスクは垂直記録方式を採用している.)を採用していたときには,磁気記録通信路は,入力制約としてmath制約を持っていると考えることができた.math制約とmath制約の物理的な意味は次のとおりである.

math制約:高い記録密度を達成するために,物理的な1bitを記録するための領域は狭くなっていった.しかし,一つの磁化反転によって出てくるパルス状の信号の時間的な幅は変化しないので,その幅が物理的な1bitの幅よりも相対的に長くなっていった.隣接する磁化反転はその極性が逆なので,これにより一つの磁化反転が隣接する領域に干渉することになり,結果的に出力レベルが下がることになる.このような記号間干渉の発生を防ぐために,磁化反転の間隔がある程度以上長くなることが要請されていた.

math制約:データを再生するときには,クロック(記号周波数)を正確に再生することが重要である.この周波数が不正確であれば,ビットが抜けたり,意味のないビットが挿入されたりする.磁気記録では,磁化反転がないと再生信号のレベルは一定になってしまう.したがって,ハードディスクでは,データを記録している部分でも,クロックに関する情報が取り出せるように,ある程度の間隔(電子回路が同期を外さない程度の間隔)で磁化反転が生じるようにという要請があった.物理的な記録方式は異なるが,CDやDVDでも同様の要請がある.

 さて,データは一般には任意の系列であるので,入力制約を満たしているとは限らない.したがって,入力制約を持つ通信路を介してデータを伝送するときには,まずデータを,入力制約を満たす系列に変換しなければならない.また,受信側若しくは再生時には変換された系列から,若干の誤りが含まれているなどの現実的な仮定の下で元のデータ系列をほぼ正確に復号できなければならない.(通常のシステムでは,この復号を行った後で誤り訂正符号の復号を行う.)

 このような変換を行う符号の符号化率はmathより小さくなければならないが,では,どこまで大きくできるだろうか.それは,次に定義する制約の容量によって定まる.

[定義2]制約の容量math制約mathに対してmathを以下のように定義し,これをmathの容量と呼ぶ.

math

ここで,mathは,制約mathを満たす長さがmathの系列の数である.

 mathが有限オートマトンで表現できるのであれば,この値は

math

で与えられる.ここでmathは,オートマトンを表現する有限有向グラフの遷移行列の最大固有値である.

 Shannonは以下の定理を証明している(1)

[定理3]mathであれば,符号化率がmath以下であるような,制約mathのための符号を構成できる.また,mathのための符号があれば,その符号化率はmath以下でなければならない.

 この事実はmathmathと近似できることに対応する.ところで,mathの定義とこの定理の証明に従って,符号化率がmathに近い符号を,表引き,若しくは論理回路で構成しようとすると,一般には符号長をかなり長くしなければならない.符号長が長くなると表も論理回路も非常に大きくなる上に,制約によっては収束の速度が非常に遅いこともある(例えば,以下のバランス制約を参照).したがって,定理の証明の方法をそのまま実際の通信路に応用することは多くの場合に困難である.

 IBMワトソン研究所のFranaszekは,この問題に取り組んでおり,制約が図1のように有限有向グラフで表現できるとき,そのグラフを頼りに符号を構成する方法を提案していた.非常に巧妙な方法であり,多くの場合に良い結果を与える方法であったが,どのような制約に対して適用できるのか,その方法を適用可能な制約の種類は明確ではなかった.

 この符号構成の問題は,Adler,CoppersmithとHassnerによって,あるクラスの制約に対しては厳密に解かれている(5)

[定理4]有限形(後述)の制約mathが与えられたとする.mathmathを正整数としたときmathであれば,符号化率がmathであるような有限状態符号器が存在する.そして,その復号器はブロック写像(以下に定義する)として与えられる.

 この定理は,記号力学系(数学の一分野)に関する結果を応用して得られている.

 この定理の証明では,構成的に符号器を与えられており,それに従って設計した符号器が実用化された(5)(7)

[定義5]mathを,有限集合とする(以下では,アルファベットと呼ぶ).mathを,mathの要素から成る,全ての有限系列の集合とする.空系列も含むとする.mathを,ある有限系列の集合としたとき,mathを以下のように定義する.

mathには,mathのどの要素も生じないmath

これを記号力学系と呼ぶ.mathが有限集合であるとき,mathは有限形であるという(条件については例えば文献(8)).有限形力学系は,ある性質を持ったラベル付き有限有向グラフmathによって表現できる.その性質を持ったmathによって定まる力学系を,mathと書く.mathのとき(何も制約がないとき),フルシフトと呼ばれる.

[定義6]ブロック写像

 ある力学系mathから別の力学系mathへの写像mathが,次の性質を持つとき,mathはブロック写像であるという.ある写像mathが存在して,全てのmathmathに対して

math

が成立する.ここでmathは,mathmath番目の要素を意味している.mathmathは,それぞれmathmathの記号アルファベットである.

 mathがブロック写像であるということは,mathは,mathを含む,長さがmathの周辺のパターンから定まり,その規則は場所(添字math)には依存しない,ということを意味している.

[定義7]力学系mathに対して,mathとなるような有限集合mathとブロック写像mathがあるとき,mathはソフィックであるという.

 符号器が有限状態符号であるとき,符号化規則が1対1でありさえすれば,原理的には,復号規則を定めることができる.しかしながら,ある時点で誤りが入ってくると,それ以降の復号に影響する可能性がある.これは誤り伝搬と呼ばれ,記録符号を構成するときには,一つの誤りが無限に伝搬することがないように構成することが重要であった.

 復号規則がブロック写像で与えられれば,誤り伝搬は必ず有限であることが保証できるので,定理4によって構成された符号は応用において重要な意味がある.

 定理4の証明は記号力学系の成果を利用しているが,実はその記号力学系は情報理論と深い関係がある.この点について,次に述べる.

2.2 情報理論と記号力学系

 Shannonは情報源のエントロピーを定義したが,これは,コロモゴロフによって,測度論的力学系のエントロピーに拡張された(9).二つの測度論的力学系が同形であるかどうかを判定する問題は,この分野の基本的な問題である.エントロピーは,同形性の不変量であることが示され,同形性の判定問題に大きく貢献した.実際,ベルヌーイ形の測度論的力学系に対しては,エントロピーが完全な不変量である,つまり,エントロピーが等しいことと同形であることとは同値であることが示されている(10)

 このように,情報理論で定義されたエントロピーは,力学系の分野に大きな影響を与えた.逆方向の影響としては,前述の符号構成法がある.この構成方法のアイデアは,整数mathに対してエントロピーがmathとなるような力学系と,記号数がmathのフルシフトとの間の埋込の問題を解くための証明方法にある.

 ある正整数mathに対して,ある有限形の力学系mathのエントロピーがmathであったとする.有限形の力学系は,有限有向グラフで表現できるが,Marcusは,エントロピーがmathであれば,全ての頂点の出次数(頂点から出ていく枝の本数)がmathであるようなグラフで定義される力学系と同形であることを証明した.そのグラフの各頂点から出ているmath個の枝に別々の記号を割り当てることによって,埋込を定義できる(11).その証明では,グラフの状態遷移行列の固有ベクトルを頼りにグラフの変形を行う.これは,状態分割法と呼ばれる.Adlerらは,これをエントロピーがmath以上の場合に拡張して符号を構成する方法を示した(5)

2.3 周波数スペクトルに関する制約

 前述の符号構成法の応用例について述べる.

 ベースバンド伝送において,AC結合を使った電子回路で信号処理をする場合には,信号に含まれる直流成分が問題を引き起こす(例えばCD,DVDやイーサネットなど).そこで,伝送路に信号を送信する直前に,信号が低周波数成分を持たないように符号化することがある.

 このような符号を設計するためには,信号が低周波成分を持たない,という条件を明確にする必要がある.mathmathを記号とするブロック符号を考えた場合には,各符号語の記号の和がmathであることが,信号の平均値がmathであるための十分条件であることはすぐに分かる.実はこれが,周波数スペクトルの離散成分と連続成分が直流においてmathになるための必要十分条件であることが安田らによって示されている(12),(13).吉田らは,この結果を拡張して,記号周波数の有理数倍の周波数において,周波数スペクトルがmathになるための必要十分条件を与えている(14).これらの結果は,指定された周波成分を含まない信号を生成するための基礎理論となった.ところで,安田らの結果(12),(13)はPierobonによって(15),吉田らの結果(14)は,MarcusとSiegelによって再発見されている(16)

 CDとDVDでは,EMF,EMF+という符号が使用されている.これは,四つの状態を持つ有限状態符号器である.グラフは,上記の文献の条件を満たすように作成され,ACHの状態分割法を用いて,窓サイズが2のスライディングブロック符号器によって復号できるように構成されている(文献(3)11章).

 図2は,低周波数成分を持たない信号を生成するグラフであり,有限形力学系ではないソフィックになる.ソフィックに対しては,状態分割法を直接には適用することはできない.ソフィックを内側からエントロピーの意味で近似することができるので,そのようにして得られた有限形の力学系に対して状態分割法を適用することで,有限状態符号器を構成できる(17)

fig_2.png

3.DNAメモリ

 前章では,有限状態符号の構成法とその応用について述べてきた.ここでは,次世代の応用として,DNA系列を使った記録装置(以下,DNAメモリと呼ぶ)について述べる.

 DNAメモリは,僅か1グラムのDNAに1ZByte(mathByte,mathTByte)のデータを記録することが可能であると考えられており,ディジタル記録容量不足問題に対する,一つの答えになるのではないかと期待されている(18)

 また,数千年前に氷漬けになったDNAを現代の技術で解析できることが示しているように,DNAメモリの寿命は非常に長いと期待されている.

 DNAメモリは大きな期待を受けてはいるが,ランダムアクセスの困難さ,記録と読出しのスピードの問題など,実用化のために解決すべき問題は多い(19).また,DNAの操作の信頼性が余り高くないことと,その誤りの発生の仕方が,これまでの記録装置と全く違っているため,誤り訂正技術も一から構築し直さなければならないという問題もある.

 以下では,二重化誤りというDNAメモリ特有の誤りに注目し,そのための誤り訂正符号が,math制約を用いて表現できることを示す.

3.1 二重化誤り

 mathは長さが0の系列(空列)を意味し,任意の系列mathに対して,mathはその長さを意味する.系列mathに対して,長さmathの接頭辞mathと長さmathの接尾辞mathは以下のように定義される.

math

 系列mathmathと分解できるとき,系列mathは,mathからmathの二重化誤りによって得られる,若しくは,mathから長さmathの二重化誤りによって得られる,という.ここでmathである.

 二重化誤りの関数を次のように定義する:mathmathを正整数とする.math

math

 DNAストレージのための誤り訂正符号を考えるために,誤り訂正符号を以下のように定義する.

[定義8]長さmathの二重化誤りのためのmath符号mathとは,以下の条件を満たす符号である.

 1.math

 2.math

 3.全てのmathに対してmathmathに,長さがmathの二重化誤りをどのようにmath回適用したとしても,同じ系列になることはない.

 もしmathが,任意のmathに対してmath符号であるならば,math符号であるという.

3.2 math符号と連長制約

 次の写像を定義する.

[定義9]mathを,次式で定義する.

math

 ここで,mathである.

 詳細は省略するが,mathによって,二重化誤りとmathの連長との間に,一対一の対応を付けることができる.

 Jainらは,以下の定理10を証明している(20).まず,符号mathを次のように構成する.

符号の構成A:正整数mathに対して,

math

 このとき,次の定理が成立する.

[定理10]文献(21)上で定義した符号mathは,math符号である.ここで

math

である.ただし,mathは,math上のmath制約を満たす,長さがmathの系列の数である.

 DNA系列を工学的に利用するための符号理論の研究が進められているが,この結果のようにこれまでのmath制約などに帰着できるものもあれば,全く新しい体系を必要とするものもある(22)

4.フラッシュメモリとWOM符号

4.1 WOM符号

 RivestとShamirは,書換えができない記録媒体を使って,複数回の記録を行うための符号(WOM符号)を提案した(23).フラッシュメモリは,書換え回数が有限な記録媒体であるため,WOM符号を,フラッシュメモリにうまく適用できる.WOM符号については様々な研究が行われているが,実際に適用するためには,現在の方式を大きく変更する必要があるため,実用化には至っていない.

 Sharonらは複数の電荷レベルを認識可能なフラッシュメモリ(MLCやTLC)の信号処理にWOM符号の考え方を適用することで,セルの電圧を効率的に読み出せることを示した(24).ここでは,その考え方について述べる.この方法は,現在のフラッシュメモリへの書込み規則を若干変更するだけで実装でき,メリットも大きいため,WOM符号が実用化される最初の例になる可能性が高いと思われる(25)

4.2 ランダム入出力符号

 TLC(Triple Level Cell)では,一つのセルに3ビットのデータ,mathmathを記録することができるが,各ビットは独立したページのデータとして扱われる.つまり,mathはページmathのデータとなり,各ページの内容は独立にアクセスされるとする.

 電圧レベルとビットパターンと対応表は,表1に与えられている.電圧が,参照電圧と比較して高いか低いかを確認することでビットパターンを読み出す.具体的には,ページ0の情報を読み出すには電圧4より高いかどうかを確認すればよい.ページ1の情報を読み出すときには,電圧が2と5の間にあるかどうかを確認する,などである.このようにすると,ページ1の情報を読み出すためには2回の電圧の比較が,ページ2の場合には4回の比較が必要になる.これがMLCの速度を遅くしている原因の一つになっている.

table_1.svg

 表2に,RivestとShamirが示した,mathからmathへの変化が1回しかできない三つのセルを使って,2ビットの情報を2回書くためのWOM符号の符号化規則を示している.この表に基づいて,mathと三つの電圧レベルを区別できるセルを三つ使って,2ビットの情報を二つ書くことを考える.一つ目の情報は,WOM符号の1回目の規則で,二つ目の情報は,WOM符号の2回目の規則で求め,それらを足し算した値をセルに書く.ただし,一つ目と二つ目の情報が同じ場合には,一つ目の情報を2倍した値を書くとする.例えば,一つ目の情報がmathで,二つ目の情報がmathであれば,mathが書き込まれる.この規則を表にしたのが,表3である.

table_2.svg

table_3.svg

 セルに注入する電荷を計算するときに,mathという計算はないので,以下の規則で復号できる.

一つ目の情報の復号:2を1に,1を0に変換して,WOM符号の規則で復号する.

二つ目の情報の復号:2を1に変換して,WOM符号の規則から復号する.WOM符号の2回目の符号語でない場合には,1回目の符号化の規則から探す.

 一般にmath回書込み可能なWOM符号を使用したときには,各セルについて1回の電圧比較を行うだけで,math番目のページの情報を読み出すことができる.

 Yaakobiらはこのアイデアを発展させて,より符号化率の高い符号化方法を提案している(25).Sekiyaらは,これと同じアイデアを多重アクセス通信路に対して適用している(26)

5.お わ り に

 シャノンの論文が発表されて以降,二元対称通信路やガウス通信路など,一般的な通信路に対する誤り訂正符号の分野は大きく発展し,また,通信以外の様々な分野にも応用されるようになってきている.一方で,技術の進歩に伴って様々な性質を持った新しい伝送路が今後も出現すると予想される.そうした伝送路を有効に使用するために,伝送路の性質に合わせた符号を構成するための理論,特に有限状態符号の理論は,今後も発展していくものと思われる.

 本稿中に述べたように,記録装置の総容量は今のままでは大きく不足するので,高密度化と大容量化は喫緊の課題である.このため,近い将来,二次元記録や三次元記録が実用化されていくと思われる.しかしながら,二次元以上の制約については,その容量(エントロピー)を計算する一般的な方法はいまだに知られていない.情報理論,符号理論がこれまでに果たしてきた役割を,次の100年でも果たそうとするならば,この問題は解くべき最も重要な問題の一つであると思われる.

文     献

(1) C. Shannon, “The mathematical theory of communication,” Bell Syst. Tech. J., vol.27, no.3, pp.379-423; 623-656, 1948.

(2) 進化する符号理論,萩原 学(編),日本評論社,2016.

(3) K.A.S. Immink, Codes for Mass Data Storage Systems, 2nd ed., Shannon Foundation Publishers, 2004.

(4) 服部正勝,鈴木 博,菅谷誠一,“HDD, ODD,及びSSDの技術動向,”東芝レビュー, vol.66, no.8, pp.30-35, 2011.

(5) R. Adler, D. Coppersmith, and M. Hassner, “Algorithms for sliding block codes,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol.IT-29, no.1, pp.5-22, Jan. 1983.

(6) K.A.S. Immink, P.H. Siegel, and J.K. Wolf, “Codes for digital recorders,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol.IT-44, pp.2260-2299, 1998.

(7) B. Marcus, P.H. Siegel, and J.K. Wolf, “Finite-state modulation codes for data storage,” IEEE J. Sel. Areas. Commun., vol.10, no.1, pp.5-37, 1992.

(8) B. Marcus and D. Lind, Symbolic dynamics and coding, Cambridge, 1995.

(9) A.N. Kolmogorov, “A new metric invariant of transitive dynamical systems and automorphisms of Lebesgue spaces,” Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol.119, no.5, pp.861-864, 1958.

(10) D. Ornstein, “The impact of Roy Adler’s work on symbolic dynamics and applications to data storageBernoulli shifts with the same entropy are isomorphic,” Advances in Math, vol.4, no.3, pp.337-352, 1970.

(11) B. Marcus, “Factors and extensions of full shifts,” Monats. fur Math., vol.88, no.3, pp.239-247, 1979.

(12) H. Yasuda and H. Inose, “A necessary condition for constructing the balanced codes,” (in Japanese) Trans. IECE Japan, vol.55-A, pp.194-195, 1972.

(13) 安田 浩,猪瀬 博,“ループ和零遷移図を用いた多値平衡符号の一般的構成法,”信学論(A), vol.J54-A, no.9, pp.506-513, Sept. 1971.

(14) S. Yoshida and S. Yajima, “On the relation between an encoding automaton and the power spectrum of its output sequence,” IECE Trans., vol.E59, no.5, pp.1-7, May 1976.

(15) G. Pierobon, “Codes for zero spectral density at zero frequency,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol.IT-30, no.2, pp.435-439, March 1984.

(16) B. Marcus and P. Siegel, “On codes with spectral nulls at rational submultiples of the symbol frequency,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol.IT-33, no.4, pp.557-568, July 1987.

(17) B. Marcus, “Sofic systems and encoding data,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol.IT-31, no.3, pp.366-377, May 1985.

(18) N. Yachie, K. Sekiyama, J. Sugahara, Y. Ohashi, and M. Tomita, “Alignment-based approach for durable data storage into living organisms,” Biotechnol. Prog, vol.23, no.2, pp.501-505, 2007.

(19) S.M. Hossein Tabatabaei Yazdi, Y. Yuan, J. Ma, H. Zhao, and O. Milenkovic, “A rewritable, random-access DNA-based storage system,” Scientific Reports, vol.5, Aug. 2015,
http://www.nature.com/articles/srep14138

(20) S. Jain, F. Farnoud, M. Schwartz, and J. Bruck, Duplication-Correcting Codes for Data Storage in the DNA of Living Organisms, 2016,
http://authors.library.caltech.edu/63940/1/etr131.pdf

(21) S. Jain, F. Farnoud, M. Schwartz, and J. Bruck, “Duplication-correcting codes for data storage in the DNA of living organisms,” Proc. ISIT 2016, pp.1028-1032, 2016.

(22) O. Milenkovic, “Constrained coding for context-free languages with applications to genetic sequence modelling,” Proc. ISIT2007, pp.1686-1690, Nice, 2007.

(23) R. Rivest and A. Shamir, “How to reuse a “write-once” memory,” Inf. Control, vol.55, no.1, pp.1-19, 1982.

(24) E. Sharon and L. Alrod, “Coding scheme for optimizing random I/O performance,” in Non-Volatile Memories Workshop, San Diego, April 2013,
http://arxiv.org/abs/1202.6481

(25) E. Yaakobi and R. Motwani, “Construction of random input-output codes with moderate block lengths,” IEEE Trans. Commun., vol.64, no.5, pp.1819-1828, 2016.

(26) R. Sekiya and B.M. Kurkoski, “Applying write-once memory codes to binary symmetric asymmetric multiple access channels,” IEICE Trans. Fundamentals, vol.E99-A, no.12, pp.2202-2210, Dec. 2016.

 (平成29年1月25日受付) 

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(かま)() (ひろし) (正員:シニア会員)

 昭57豊橋技科大・工・情報卒,昭59同大学院修士課程了.同年三重大助手.平10岐阜大講師.現在,同大学教授.博士(工学).記録のための符号に関する研究に従事.


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