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数理的手法の多様化・深化による通信システムへの新たなアプローチ
小特集 4.
平面上の確率事象と情報通信ネットワークへの応用
Stochastic Events in Plane and Applications to Communications Networks
abstract
センサによる現実世界の情報収集など，平面上の現象としてモデル化できる情報通信ネットワーク関連の現象が増大している．本稿では，これらの現象に対する数学的手法として，積分幾何に着目する．平面上の積分幾何は，高度な数学的知識も必要とせず，陽な公式も多く知られているため，比較的容易に様々な用途で使用できると思われる．本稿では，特に，移動体ネットワークやセンサネットワークに関わる例題を示して，解説する．
キーワード：平面，積分幾何，幾何確率，被覆，ハンドオーバ
M2M（Machine-to-Machine）やIoT（Internet of Things）などと呼ばれる技術が注目を集め，多くのセンサが現実世界に多数配備される時代が目の前に来ている．こうしたセンサ情報や移動体情報は，多くの場合，平面上の（地図上の）位置情報とセットで利用されるか，少なくとも，密接に関連している．今日まで，我々は，多くの時系列データを得て，それを分析利用してきたが，今後は，それらに加えて，平面上の（地図上の）情報を得て，分析利用する時代に来ている．
その分析道具の一つとして，本稿では，積分幾何を取り上げる．平面の積分幾何に関する応用分野としては，コンピュータグラフィックス・画像処理分野や物理学が挙げられる．情報通信ネットワーク分野では，無線やセンサネットワーク，ネットワークマネージメントがあるが，必ずしも多くはない．（具体的研究事例については，文献(１)を参照．）継続的に応用しているのは，筆者らだけと思われる．
積分幾何は，元々は，幾何的な対象のランダムな現象を表現する幾何確率（geometric probability）を起源としている．幾何確率をきちんと定義し，拡張するため，積分幾何では，ランダムな事象に関わる測度を定義した結果，様々な幾何学的現象を計量することができるようになった．積分幾何は，多次元ユークリッド空間だけでなく，多様体上の理論として発展しているが，平面上の現象に対する積分幾何は，高度な数学的知識も余り必要とせず，陽な公式も多く知られているため，比較的容易に応用が可能である．そこで，本稿では，平面上の問題に特化して解説する．
積分幾何における最も重要な原理としてmotion-invarianceがある．これは，平行移動や回転（合わせてmotionと呼ばれる）によって測度が変わってはならないという原理である．対象となる幾何学的図形の位置関係に基づく測度は，平行移動や回転という変換で保存されるべきであることから，この要請が生じている．motion-invariatな測度の直感的なイメージは，円や線などの平面図形を平面上で動かした場合に，あるいは，平面上にランダムに置いた場合に，ある条件を満たす当該図形の位置の数である．motion-invarianceを条件として課すと，点や直線，有限領域の集合に関する測度は，定数倍を除いて一意に決まる．以下で，それらの測度を紹介する．
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