2.1　通信路分極

　通信路分極は，均質な通信路を良好な通信路と劣悪な通信路に変換し，良好な通信路のみを用いることで良好な特性を実現する現象を示す．まず通信路を定義する．入力，出力アルファベットを，とする二元対称通信路をとし，からへの遷移確率をと定義する．また，通信路を組用いて通信を行う場合，第通信路の入力，出力アルファベットを，と表す．

　次に，通信路容量を容易に計算可能な二元消失通信路（BEC : Binary Erasure Channel）を用いて通信路分極を説明する．二元消失通信路は入力に対し，出力がとなる通信路であり，は消失（どちらが送られたか不明）を表す．このとき，，への遷移確率を，と定義する．この通信路容量はである．

　二元消失通信路を2組用いる場合について説明する．図1（a）に入力，出力アルファベットが，の通信路を示す．この通信路を図1（b）に示す通信路結合（Channel Combining），通信路分解（Channel Splitting）することで，図1（c）に示す2通信路, に変換する．それぞれの入力，出力アルファベットを図中に青字，赤字で示す．ここで，の出力にが含まれる点に注意が必要である．以降通信路を簡単化のためのように記載する場合がある．

　次に，この通信路の通信路容量を容量を計算する．，通信路それぞれの入力である，の消失率は，表1から，，と計算される．消失率から各通信路の通信容量は，と計算される．ここで，分極前の通信路容量ををと定義すると，以下の式が成り立つ．

式（１）は，図1（a）で示される通信路を図1（c）で示す2通信路に変換することによって，元の通信路より通信路容量が減少した通信路と増加した通信路に変換されることを示す．式（２）は，通信路容量の総和は分極の前後で変わらないことを示す．

　次に，これまで説明した2通信路を2組用いることによって，4通信路の通信路分極を生成する方法について図2を用いて説明する．図において，という記載があるが，これは，の簡略表記である．図2に示すように，黄色で示す2組の通信路の左で薄緑で示す置換（Permutation）処理を行う．この置換処理を行うことで，その左の分極処理を行う排他的論理和の入力が均質な通信路となる．均質な2通信路に対する通信路分極処理は先ほどと同様であるため，2通信路の通信路分極処理における劣悪な通信路の消失率を用いて，通信路，の消失率は，，として計算される．通信路，もを用いて，同様に計算可能である．

　以上を一般化して，回通信路分極を行った通信路（）を分極することで，通信路を生成する場合について図3を用いて説明する．