1．グラフ信号処理とは

　ディジタル信号処理⁽¹⁾は，音声や画像に代表されるディジタル信号の圧縮・伝送・保存等のために利用される．従来のディジタル信号処理は信号の「構造」がサンプリング周波数で自動的に決められていた．あるいは，自動的に決められると仮定していた．これは物理的なデータをA-D変換器で計測するという性質上，ある意味当然であった．この場合，ディジタル信号の信号値は等間隔で整列していることになる．

　一方で，信号が必ずしも整列しておらず，空間上に複雑・非均一に分布するデータを解析する需要も多い．このような複雑な構造を持つデータは，しばしば信号値間の関係がネットワークとして与えられる場合がある．ネットワークの代表的な例は，交通網や社会的ネットワーク，脳ネットワークである．このようなネットワーク上に存在する信号の場合，信号値間の関係は均一でないことが多い．ソーシャルネットワーキングサービスでのフォロワーの数が良い例である．

　ネットワーク上のデータを解析するために必要な信号処理技術がグラフ信号処理^(2)～(4)である．グラフ信号処理は，信号の定義域をネットワーク（グラフ）の頂点上に持つ信号（グラフ信号）を解析するための信号処理技術の一群であるのみならず，グラフニューラルネットワーク等の機械学習・AI技術の基盤理論でもある．誤解を恐れず言えば，グラフ信号処理は「信号の構造に対して何を知っていて，何を知らないのか」を起点とした，信号処理を再定義する試みの一環である．

　グラフとグラフ信号は様々な工学・科学分野で用いられている．例えば道路網はグラフであり，グラフ上の信号は車両の台数である．大脳皮質の機能領域と機能領域同士のつながりもまたグラフとして表され，脳波や脳磁図といった多チャネル信号はグラフ信号として見ることができる．ディジタル信号処理での代表的な研究対象である画像信号においても，各画素を頂点とし，画素間を辺で結ぶことで，画素値はグラフ信号とみなすことが可能となる．

　グラフ信号処理の目的は，それら様々なグラフ信号に対し，グラフフーリエ変換やフィルタリング，サンプリングなどの基盤技術を提供すると同時に，その応用としてグラフ信号の効率的な保存・伝送・解析手段を実現することにある．理論的な側面から言えば，グラフ信号処理は，グラフ理論―特にスペクトルグラフ理論⁽⁵⁾―の知見を，調和解析・信号処理へ統合していく過程であると言える^(注1)．

　本稿では，グラフ信号処理をできるだけ平易にかつ工学者に向けて解説する．

2．グラフとグラフ信号

3．グラフフーリエ変換

　グラフ信号の周波数解析には，グラフフーリエ変換が用いられる．グラフに対応するグラフ作用素^(用語)を固有値分解すると正規直交固有ベクトルが得られる．このとき，頂点上のグラフ信号に対するグラフフーリエ変換は，との内積として以下のように定義される．

を番目のグラフフーリエ係数と呼ぶ．また，逆グラフフーリエ変換は以下で定義される．

　ここでグラフフーリエ変換の例を見てみよう．人工的に作成したセンサネットワーク上のグラフ信号を図3に示す．図3から，辺で接続された頂点同士の信号値は似通っていることが分かる．すなわち，グラフ上で信号値が滑らかに変動している．この信号のグラフフーリエ係数のエネルギーを図4に示す．図から分かるように，小さい（低グラフ周波数^(用語)）にエネルギーが集中している．つまり，グラフフーリエ変換を行うことでグラフフーリエ係数―グラフ信号のスペクトルの情報―から空間的な信号の特徴が理解できる．

4．まとめ

　本稿ではグラフ信号処理に関する初歩的な事項の解説を行った．グラフフーリエ変換を基盤として，基礎的な構成要素としてグラフ信号のフィルタリング⁽²⁾やサンプリング⁽⁶⁾が，発展的な要素としてグラフウェーブレットフィルタバンク⁽⁷⁾やグラフ学習⁽⁸⁾がある．また，上記の構成要素を組合せることで，グラフ信号の修復や圧縮，分類，認識等も実現することができる．グラフニューラルネットワーク⁽⁹⁾の本質も訓練データを用いたグラフフィルタ係数の学習である．センサネットワークや脳情報データ解析をはじめとしてグラフ信号処理の応用は幅広い．興味を持った読者は文献（4）等を参照してほしい．

文　　　　　献

（2025年9月24日受付）